arccosx的导数是什么等于什么

2024-09-11 14:35

arccosx的导数：-1/√（1-x²）。求导数时，按复合次序由最外层起，向内一层一层地对中间变量求导数，直到对自变量求导数为止。具体内容小编已经整理好了，一起来看看吧。

arccosx的导数是什么

arccos x 的导数是 -1/√(1-x^2)。

在数学中，arccos x 是 cos x 的反函数，表示的是一个角度，其余弦值为 x。为了求解 arccos x 的导数，我们需要利用反函数的导数公式。具体来说，如果 y = arccos x，那么 x = cos y。根据反函数的导数公式，我们有：

dy/dx = 1 / (dx/dy)

由于 x = cos y，我们可以求得 dx/dy = -sin y。因此，dy/dx = 1 / (-sin y)。为了进一步简化这个表达式，我们需要将 sin y 用 x 表示。根据三角函数的基本关系，我们知道 sin^2 y + cos^2 y = 1，所以 sin y = √(1 - cos^2 y) = √(1 - x^2)。

将这个结果代入 dy/dx 的表达式中，我们得到：

dy/dx = 1 / (-√(1 - x^2)) = -1 / √(1 - x^2)

因此，arccos x 的导数是 -1 / √(1 - x^2)。这个结果表明，当 x 接近 1 或 -1 时，导数的绝对值会变得非常大，这是因为在这个区间内，arccos x 的斜率变化非常剧烈。

需要注意的是，arccos x 的定义域是 [-1, 1]，在这个区间之外，arccos x 没有定义。因此，导数 -1 / √(1 - x^2) 也只在 [-1, 1] 这个区间内有意义。在 x = ±1 处，导数趋向于无穷大，这反映了函数在这些点的不连续性。

总结来说，arccos x 的导数是 -1 / √(1 - x^2)，这个结果是通过利用反函数的导数公式和三角函数的基本关系推导出来的。这个导数在 [-1, 1] 区间内有定义，并且在 x = ±1 处趋向于无穷大，反映了函数在这些点的特殊性质。