勾股定理的变式及应用

一、勾股定理的变式及应用

1、勾股定理

（1）文字语言

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）符号语言

如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^2+$$b^2=$$c^2$。

（3）变式及应用

设直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则

$a^2=c^2-b^2$，$b^2=c^2-a^2$，

$c=\sqrt{a^2+b^2}$，$a=\sqrt{c^2-b^2}$，$b=\sqrt{c^2-a^2}$。

2、勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的两边，求第三边。

（2）表示长度为无理数的线段。

（3）在数轴上作出表示无理数的点。

注：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，从而构造直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长 $a$，$b$，$c$满足$a^2+$$b^2=$$c^2$，那么这个三角形是直角三角形。

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若$a$，$b$，$c$是一组勾股数，则$ak$，$bk$，$ck$（$k$是正整数）也是一组勾股数。

4、勾股定理的逆定理的应用

运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法

（1）先确定最长边，算出最长边的平方；

（2）计算另两边的平方和；

（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形。

二、勾股定理的相关例题

以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是___

A．1，2，3

B．2，3，4

C．3，4，5

D．4，5，6

答案：C

解析：因为$1^2+2^2≠3^2$，$2^2+3^2≠4^2$，$4^2+5^2≠6^2$，所以$A$，$B$，$D$都不能组成直角三角形。因为$3^2+4^2=5^2$，所以$C$能组成直角三角形。