收敛与发散怎么判断
收敛与发散判断方法:当n无穷大时,判断Xn是否是常数,是常数则收敛,加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去,乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来代。
判断函数和数列是否收敛或者发散
1、设数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛。
2、求数列的极限,如果数列项数n趋于无穷时,数列的极限能一直趋近于实数a,那么这个数列就是收敛的;如果找不到实数a,这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。
3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如1+1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如1/n*sin(1/n)用1/n^2来代替。
4、收敛数列的极限是唯一的,且该数列一定有界,还有保号性,与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。
收敛数列相互关系
收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的。
如果数列{Xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。