指数不等式的定义和绝对值不等式
一、指数不等式的定义和绝对值不等式
1、定义:一般地,函数$y=a^x(a>0$,且$a≠1)$叫做指数函数,其中$x$是自变量,函数的定义域是$\mathbf{R}$。像这样$(a^x>b^x)$与指数函数有关的不等式即为指数不等式。
2、不等式在高中常见的还有绝对值不等式、分式不等式、对数不等式和一元二次不等式
(1)绝对值不等式:即含有绝对值的不等式,如$|a|<1$。
(2)分式不等式:与分式方程类似,像$\frac{f(x)}{g(x)}>0$或$\frac{f(x)}{g(x)}<0$(其中$f(x)、g(x)$为整式且$g(x)$不为0)这样,分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
(3)对数不等式:像这样$(\log ^x_a>\log ^x_b)$与对数函数有关的不等式即为对数不等式。
(4)一元二次不等式:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。
二、指数不等式的相关例题
已知实数$a>b$,则以下不等式中恒成立的是___
A.$a^3>b^3$
B.$a^2>b^2$
C.$\left(\frac{1}{3}\right)^a>\left(\frac{1}{3}\right)^b$
D.$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
答案:A
解析:由$f(x)=x^3$是增函数,易知选项A正确;当$a=1$,$b=-1$时,$a^2>b^2$不成立,则B错误;由$\left(\frac{1}{3}\right)^a>\left(\frac{1}{3}\right)^b$,得$a<b$,则C错误;当$a=1$,$b=-1$时,$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$不成立,则D错误,故选A。