平行线分线段成比例定理和推论

一、平行线分线段成比例定理和推论

1、比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

已知四条线段$a$，$b$，$c$，$d$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$a$，$b$，$c$，$d$叫做组成比例的项，线段$a$、$d$叫做比例外项，线段$b$、$c$叫做比例内项。

2、比例的基本性质

如果$a∶b=$$c∶d$或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$ad=bc$，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果$ad=bc$，那么$a∶b=$$c∶d$或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$(bd≠0)$。

根据比例的基本性质，由$ad=bc$还可以推出如下比例式（$abcd≠0$）

① $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$；② $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；③ $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$。

3、平行线分线段成比例定理

（1）定理

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

（2）推论

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

如：在$△ABC$中，$AB$边上有一点$D$，$AC$边上有一点$E$，且$DE∥BC$，则有$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$。

二、平行线分线段成比例定理的相关例题

给出下列各组线段，其中成比例线段的是___

A．1cm，2cm，3cm，4cm

B．2cm，3cm，4cm，5cm

C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m

D．1cm，$\sqrt{5}$cm，$2\sqrt{3}$cm，$2\sqrt{15}$cm

答案：D

解析：A．1×4≠2×3，故选项错误；B．2×5≠3×4，故选项错误；C．0.3×0.9≠0.6×0.5，故选项错误；D．$1×2\sqrt{15}=\sqrt{5}×2\sqrt{3}$，故选项正确。故选D。