射影定理是什么推导过程是什么

2023-04-06 20:39

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

什么是射影定理

欧几里得提出的面积射影定理projective theorem规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=1/2

AC×BC=1/2AB·CD

∴1/2AC·BC=1/2AB·CD

∴AC·BC=AB·CD